Эквивалентность дифференцируемости и существования производной функции в точке

$f(x)$ - дифференцируема в $x_{0} \iff \exists{f'(x_{0})},~ A = f'(x_{0})$

$\Large{\implies}$ Напишем определение и поделим на $\Delta x \neq 0$: $$\begin{matrix} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = A + \dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x} \\ \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(A + \dfrac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right) = A ~~~~~\square \end{matrix}$$ $\Large{\impliedby}$ То же самое, но в обратную сторону.